«Физика - 10 класс»

Почему для увеличения угловой скорости вращения фигурист вытягивается вдоль оси вращения.
Должен ли вращаться вертолёт при вращении его винта?

Заданные вопросы наводят на мысль о том, что если на тело не действуют внешние силы или действие их скомпенсировано и одна часть тела начинает вращение в одну сторону, то другая часть должна вращаться в другую сторону, подобно тому как при выбросе горючего из ракеты сама ракета движется в противоположную сторону.

Момент импульса.

Если рассмотреть вращающийся диск, то становится очевидным, что суммарный импульс диска равен нулю, так как любой частице тела соответствует частица, движущаяся с равной по модулю скоростью, но в противоположном направлении (рис. 6.9).

Но диск движется, угловая скорость вращения всех частиц одинакова. Однако ясно, что чем дальше находится частица от оси вращения, тем больше её импульс. Следовательно, для вращательного движения надо ввести ещё одну характеристику, подобную импульсу, - момент импульса.

Моментом импульса частицы, движущейся по окружности, называют произведение импульса частицы на расстояние от неё до оси вращения (рис. 6.10):

Линейная и угловая скорости связаны соотношением v = ωr, тогда

Все точки твёрдого дела движутся относительно неподвижной оси вращения с одинаковой угловой скоростью. Твёрдое тело можно представить как совокупность материальных точек.

Момент импульса твёрдого тела равен произведению момента инерции на угловую скорость вращения:

Момент импульса - векторная величина, согласно формуле (6.3) момент импульса направлен так же, как и угловая скорость.

Основное уравнение динамики вращательного движения в импульсной форме.

Угловое ускорение тела равно изменению угловой скорости, делённому на промежуток времени, в течение которого это изменение произошло: Подставим это выражение в основное уравнение динамики вращательного движения отсюда I(ω 2 - ω 1) = MΔt, или IΔω = MΔt.

Таким образом,

ΔL = MΔt. (6.4)

Изменение момента импульса равно произведению суммарного момента сил, действующих на тело или систему, на время действия этих сил.

Закон сохранения момента импульса:

Если суммарный момент сил, действующих на тело или систему тел, имеющих неподвижную ось вращения, равен нулю, то изменение момента импульса также равно нулю, т. е. момент импульса системы остаётся постоянным.

ΔL = 0, L = const .

Изменение импульса системы равно суммарному импульсу сил, действующих на систему.

Вращающийся фигурист разводит в стороны руки, тем самым увеличивает момент инерции, чтобы уменьшить угловую скорость вращения.

Закон сохранения момента импульса можно продемонстрировать с помощью следующего опыта, называемого «опыт со скамьёй Жуковского». На скамью, имеющую вертикальную ось вращения, проходящую через её центр, встаёт человек. Человек держит в руках гантели. Если скамью заставить вращаться, то человек может изменять скорость вращения, прижимая гантели к груди или опуская руки, а затем разводя их. Разводя руки, он увеличивает момент инерции, и угловая скорость вращения уменьшается (рис. 6.11, а), опуская руки, он уменьшает момент инерции, и угловая скорость вращения скамьи увеличивается (рис. 6.11, б).

Человек может также заставить вращаться скамью если пойдёт вдоль её края. При этом скамья будет вращаться в противоположном направлении, так как суммарный момент импульса должен остаться равным нулю.

На законе сохранения момента импульса основан принцип действия приборов, называемых гироскопами. Основное свойство гироскопа - это сохранение направления оси вращения, если на эту ось не действуют внешние силы. В XIX в. гироскопы использовались мореплавателями для ориентации в море.

Кинетическая энергия вращающегося твёрдого тела.

Кинетическая энергия вращающегося твёрдого тела равна сумме кинетических энергий отдельных его частиц. Разделим тело на малые элементы, каждый из которых можно считать материальной точкой. Тогда кинетическая энергия тела равна сумме кинетических энергий материальных точек, из которых оно состоит:

Угловая скорость вращения всех точек тела одинакова, следовательно,

Величина в скобках, как мы уже знаем, это момент инерции твёрдого тела. Окончательно формула для кинетической энергии твёрдого тела, имеющего неподвижную ось вращения, имеет вид

В общем случае движения твёрдого тела, когда ось вращения свободна, его кинетическая энергия равна сумме энергий поступательного и вращательного движений. Так, кинетическая энергия колеса, масса которого сосредоточена в ободе, катящегося по дороге с постоянной скоростью, равна

В таблице сопоставлены формулы механики поступательного движения материальной точки с аналогичными формулами вращательного движения твёрдого тела.

Если м.т. вращается по окружности, то на нее действует сила , то при повороте на некоторый угол совершается элементарная работа:

(22)

Если действующая сила является потенциальной, то

тогда (24)

Мощность при вращении

Мгновенная мощность, развиваемая при вращении тела:

Кинетическая энергия вращающегося тела

Кинетическая энергия материальной точки . Кинетическая энергия sis материальных точек . Т.к. , получим выражение кинетической энергии вращения:

При плоском движении (цилиндр скатывается по наклонной плоскости) полная скорость равна:

где - скорость центра масс цилиндра.

Полная равна сумме кинетической энергии поступательного движения его центра масс и кинетической энергии вращательного движения тела относительно центра масс, т.е.:

(28)

Заключение:

А теперь, рассмотрев весь лекционный материал, подведем итог, сопоставим величины и уравнения вращательного и поступательного движения тела:

Приложение 1:

Человек стоит в центре скамьи Жуковского и вместе с ней вращается по инерции. Частота вращения n 1 =0,5 c -1 . Момент инерции j o тела человека относи-

тельно оси вращения равен 1,6 кг м 2 . В вытянутых в стороны руках человек держит по гире массой m =2 кг каждая. Расстояние между гирями l 1 =l,6 м. Опре­делить частоту вращения n 2 , скамьи с человеком, когда он опустит руки и расстояние l 2 между гирями станет равным 0,4 м. Моментом инерции скамьи пренебречь.

Свойства симметрии и законы сохранения.

Сохранение энергии.

В основе законов сохранения, рассматриваемых в механике, лежат свойства пространства и времени.

Сохранение энергии связано с однородностью времени, сохранение импульса – с однородностью пространства и, наконец, сохранение момента импульса находится в связи с изотропией пространства.

Начинаем с закона сохранения энергии. Пусть система частиц находится в неизменных условиях(это имеет место если система замкнута или подвержена воздействию постоянного внешнего силового поля); связи(если они есть) идеальны и стационарны. В этом случае время в силу своей однородности не может входить явно в функцию Лагранжа. Действительно однородность означает равнозначность всех моментов времени. Поэтому замена одного момента времени другим без изменения значений координат и скоростей частиц не должна изменять механические свойства системы. Это конечно справедливо в том случае, если замена одного момента времени другим не изменяет условий, в которых находится система, то есть в случае независимости от времени внешнего поля(в частности это поле может отсутствовать).

Итак для замкнутой системы находящейся в замкнутом силовом поле, .

Работа при вращательном движении. Момент силы

Рассмотрим работу, совершаемую при вращении материальной точки по окружности под действием проекции действующей силы на перемещение (тангенциальной составляющей силы). В соответствии с (3.1) и рис. 4.4, перейдя от параметров поступательного движения к параметрам вращательного движения (dS = R dcp)

Здесь введено понятие момента силы относительно оси вращения OOi как произведение силы F s на плечо силы R:

Как видно из соотношения (4.8), момент силы во вращательном движении является аналогом силы в поступательном движении , поскольку оба параметра при умножении на аналоги dcp и dS дают работу. Очевидно, момент силы тоже должен задаваться векторно, причем относительно точки О его определение дается через векторное произведение и имеет вид

Окончательно: работа при вращательном движении равна скалярному произведению момента силы на угловое перемещение :

Кинетическая энергия при вращательном движении. Момент инерции

Рассмотрим абсолютно твердое тело, вращающееся относительно неподвижной оси. Мысленно разобьем это тело на бесконечно малые кусочки с бесконечно малыми размерами и массами mi, m2, Шз..., находящиеся на расстоянии R b R 2 , R3 ... от оси. Кинетическую энергию вращающегося тела найдем как сумму кинетических энергий его малых частей

где У- момент инерции твердого тела, относительно данной оси OOj.

Из сопоставления формул кинетической энергии поступательного и вращательного движений видно, что момент инерции во вращательном движении является аналогом массы в поступательном движении. Формула (4.12) удобна для расчета момента инерции систем, состоящих из отдельных материальных точек. Для расчета момента инерции сплошных тел, воспользовавшись определением интеграла, можно преобразовать (4.12) к виду

Несложно заметить, что момент инерции зависит от выбора оси и меняется при ее параллельном переносе и повороте. Приведем значения моментов инерции для некоторых однородных тел.

Из (4.12) видно, что момент инерции материальной точки равен

где т - масса точки;

R - расстояние до оси вращения.

Несложно вычислить момент инерции и для полого тонкостенного цилиндра (или частного случая цилиндра с малой высотой - тонкого кольца) радиуса R относительно оси симметрии. Расстояние до оси вращения всех точек для такого тела одинаково, равно радиусу и может быть вынесено из-под знака суммы (4.12):

Сплошной цилиндр (или частный случай цилиндра с малой высотой - диск) радиуса R для расчета момента инерции относительно оси симметрии требует вычисления интеграла (4.13). Масса в этом случае в среднем сосредоточена несколько ближе, чем в случае полого цилиндра, и формула будет похожа на (4.15), но в ней появится коэффициент меньше единицы. Найдем этот коэффициент.

Пусть сплошной цилиндр имеет плотность р и высоту h. Разобьем его на

полые цилиндры (тонкие цилиндрические поверхности) толщиной dr (рис. 4.5) показывает проекцию, перпендикулярную оси симметрии). Объем такого полого цилиндра радиуса г равен площади поверхности, умноженной на толщину: масса: а момент

инерции в соответствии с (4.15): Полный момент

инерции сплошного цилиндра получается интегрированием(суммированием) моментов инерции полых цилиндров:

. С учетом того, что масса сплошного цилиндра связана с

плотностью формулой т = 7iR 2 hp имеем окончательно момент инерции сплошного цилиндра:

Аналогично ищется момент инерции тонкого стержня длины L и массы т, если ось вращения перпендикулярна стержню и проходит через его середину. Разобьем такой стержень в соответствии с рис. 4.6

на кусочки толщиной dl. Масса такого кусочка равна dm=m dl/L, а момент инерции в соответствии с Пол

ный момент инерции тонкого стержня получается интегрированием (суммированием) моментов инерции кусочков:

Рассмотрим абсолютно твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси. Если мысленно разбить это тело на n точек массами m 1 , m 2 , …, m n , находящихся на расстояниях r 1 , r 2 , …, r n от оси вращения, то при вращении они будут описывать окружности и двигаться с различными линейными скоростями v 1 , v 2 , …, v n . Так как тело абсолютно твердое, то угловая скорость вращения точек будет одинакова:

Кинетическая энергия вращающегося тела есть сумма кинетических энергий его точек, т.е.

Учитывая связь между угловой и линейной скоростями, получим:

Сопоставление формулы (4.9) с выражением для кинетической энергии тела, движущегося поступательно со скоростью v , показывает, что момент инерции является мерой инертности тела во вращательном движении .
Если твердое тело движется поступательно со скоростью v и одновременно вращается с угловой скоростью ω вокруг оси, проходящей через его центр инерции, то его кинетическая энергия определяется как сумма двух составляющих:

(4.10)

где v c – скорость центра масс тела; J c - момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс.
Моментом силы относительно неподвижной оси z называется скалярная величина M z , равная проекции на эту ось вектора M момента силы, определенного относительно произвольной точки 0 данной оси. Значение момента M z не зависит от выбора положения точки 0 на оси z .
Если ось z совпадает с направлением вектора M , то момент силы представляется в виде вектора, совпадающего с осью:

M z = [rF ] z
Найдем выражение для работы при вращении тела. Пусть сила F приложена к точке В, находящейся от оси вращения на расстоянии r (рис. 4.6); α – угол между направлением силы и радиусом-вектором r . Так как тело абсолютно твердое, то работа этой силы равна работе, затраченной на поворот всего тела.

При повороте тела на бесконечно малый угол dφ точка приложения В проходит путь ds = rdφ , и работа равна произведению проекции силы на направление смещения на величину смещения:

dA = Fsinα*rdφ
Учитывая, что Frsinα = M z можно записать dA = M z dφ , где M z - момент силы относительно оси вращения. Таким образом, работа при вращении тела равна произведению момента действующей силы на угол поворота.
Работа при вращении тела идет на увеличение его кинетической энергии:

dA = dE k
(4.11)

Уравнение (4.11) представляет собой уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси .

Работа и мощность при вращении твердого тела.

Найдем выражение для работы при вращении тела. Пусть сила приложена в точке , находящейся от оси на расстоянии , - угол между направлением силы и радиус-вектором . Так как тело абсолютно твердое, то работа этой силы равна работе, затраченной на поворот всего тела. При повороте тела на бесконечно малый угол точка приложения проходит путь и работа равна произведению проекции силы на направление смещения на величину смещения:

Модуль момента силы равен:

тогда получим следующую формулу для вычисления работы:

Таким образом, работа при вращении твердого тела равна произведению момента действующей силы на угол поворота.

Кинетическая энергия вращающегося тела.

Моментом инерции мат.т. наз. физ. величина численно равная произведению массы мат.т. на квадрат расстояния этой точки до оси вращения.W ki =m i V 2 i /2 V i -Wr i Wi=miw 2 r 2 i /2 =w 2 /2*m i r i 2 I i =m i r 2 i момент инерции твердого тела равен сумме всех мат.т I=S i m i r 2 i моментом инерции твердого тела наз. физ.величина равная сумме произведений мат.т. на квадраты расстояний от этих точек до оси. W i -I i W 2 /2 W k =IW 2 /2

W k =S i W ki момент инерции при вращательном движении явл. аналогом массы при поступательном движении. I=mR 2 /2

21.Неинерциальные системы отсчёта. Силы инерции. Принцип эквивалентности. Уравнение движения в неинерциальных системах отсчёта.

Неинерциальная система отсчёта - произвольная система отсчёта, не являющаяся инерциальной. Примеры неинерциальных систем отсчета: система, движущаяся прямолинейно с постоянным ускорением, а также вращающаяся система.

При рассмотрении уравнений движения тела в неинерциальной системе отсчета необходимо учитывать дополнительные силы инерции. Законы Ньютона выполняются только в инерциальных системах отсчёта. Для того чтобы найти уравнение движения в неинерциальной системе отсчёта, нужно знать законы преобразования сил и ускорений при переходе от инерциальной системы к любой неинерциальной.

Классическая механика постулирует следующие два принципа:

время абсолютно, то есть промежутки времени между любыми двумя событиями одинаковы во всех произвольно движущихся системах отсчёта;

пространство абсолютно, то есть расстояние между двумя любыми материальными точками одинаково во всех произвольно движущихся системах отсчёта.

Эти два принципа позволяют записывать уравнение движения материальной точки относительно любой неинерциальной системы отсчёта, в которой не выполняется Первый закон Ньютона.

Основное уравнение динамики относительного движения материальной точки имеет вид:

где - масса тела, - ускорение тела относительно неинерциальной системы отсчёта, - сумма всех внешних сил, действующих на тело, - переносное ускорение тела, - Кориолисово ускорение тела.

Это уравнение может быть записано в привычной форме Второго закона Ньютона, если ввести фиктивные силы инерции:

Переносная сила инерции

Сила Кориолиса

Сила инерции - фиктивная сила, которую можно ввести в неинерциальной системе отсчёта так, чтобы законы механики в ней совпадали с законами инерциальных систем.

В математических вычислениях введения этой силы происходит путём преобразования уравнения

F 1 +F 2 +…F n = ma к виду

F 1 +F 2 +…F n –ma = 0 Где F i - реально действующая сила, а –ma - «сила инерции».

Среди сил инерции выделяют следующие:

простую силу инерции;

центробежную силу, объясняющую стремление тел улететь от центра во вращающихся системах отсчёта;

силу Кориолиса, объясняющую стремление тел сойти с радиуса при радиальном движении во вращающихся системах отсчёта;

С точки зрения общей теории относительности, гравитационные силы в любой точке - это силы инерции в данной точке искривлённого пространства Эйнштейна

Центробежная сила - сила инерции, которую вводят во вращающейся (неинерциальной) системе отсчёта (чтобы применять законы Ньютона, рассчитанные только на инерциальные СО) и которая направлена от оси вращения (отсюда и название).

Принцип эквивалентности сил гравитации и инерции - эвристический принцип, использованный Альбертом Эйнштейном при выводе общей теории относительности. Один из вариантов его изложения: «Силы гравитационного взаимодействия пропорциональны гравитационной массе тела, силы инерции же пропорциональны инертной массе тела. Если инертная и гравитационная массы равны, то невозможно отличить, какая сила действует на данное тело - гравитационная или сила инерции.»

Формулировка Эйнштейна

Исторически, принцип относительности был сформулирован Эйнштейном так:

Все явления в гравитационном поле происходят точно так же как в соответствующем поле сил инерции, если совпадают напряжённости этих полей и одинаковы начальные условия для тел системы.

22.Принцип относительности Галилея. Преобразования Галилея. Классическая теорема сложения скоростей. Инвариантность законов Ньютона в инерциальных системах отсчёта.

Принцип относительности Галилея – это принцип физического равноправия инерциальных систем отсчёта в классической механике, проявляющегося в том, что законы механики во всех таких системах одинаковы.

Математически принцип относительности Галилея выражает инвариантность (неизменность) уравнений механики относительно преобразований координат движущихся точек (и времени) при переходе от одной инерциальной системы к другой - преобразований Галилея.
Пусть имеются две инерциальные системы отсчёта, одну из которых, S, условимся считать покоящейся; вторая система, S", движется по отношению к S с постоянной скоростью u так, как показано на рисунке. Тогда преобразования Галилея для координат материальной точки в системах S и S" будут иметь вид:
x" = x - ut, у" = у, z" = z, t" = t (1)
(штрихованные величины относятся к системе S", нештрихованные - к S). Т. о., время в классической механике, как и расстояние между любыми фиксированными точками, считается одинаковым во всех системах отсчёта.
Из преобразований Галилея можно получить соотношения между скоростями движения точки и её ускорениями в обеих системах:
v" = v - u, (2)
a" = a.
В классической механике движение материальной точки определяется вторым законом Ньютона:
F = ma, (3)
где m - масса точки, a F - равнодействующая всех приложенных к ней сил.
При этом силы (и массы) являются в классической механике инвариантами, т. е. величинами, не изменяющимися при переходе от одной системы отсчёта к другой.
Поэтому при преобразованиях Галилея уравнение (3) не меняется.
Это и есть математическое выражение Галилеева принципа относительности.

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ГАЛИЛЕЯ.

В кинематике все системы отсчета равноправны между собой и движение можно описывать в любой из них. При исследовании движений иногда приходится переходить от одной системы отсчета (с координатной системой ОХУZ) к другой - (О`Х`У`Z`). Рассмотрим случай, когда вторая система отсчета движется относительно первой равномерно и прямолинейно со скоростью V=соnst.

Для облегчения математического описания предположим, что соответствующие оси координат параллельны друг другу, что скорость направлена вдоль оси Х, и что в начальный момент времени (t=0) начала координат обеих систем совпадали друг с другом. Используя справедливое в классической физике допущение об одинаковом течении времени в обеих системах, можно записать соотношения, связывающие координаты некоторой точки А(х,у,z) и А (х`,у`,z`) в обеих системах. Такой переход от одной системы отсчета к другой носит название преобразований Галилея):

ОХУZ О`Х`У`Z`

х = х` + V x t х` = х - V x t

x = v` x + V x v` x = v x - V x

a x = a` x a` x = a x

Ускорение в обеих системах одинаково (V=соnst). Глубокий смысл преобразований Галилея будет выяснен в динамике. Преобразование скоростей Галилея отражает имеющий место в классической физике принцип независимости перемещений.

Сложение скоростей в СТО

Классический закон сложения скоростей не может быть справедлив, т.к. он противоречит утверждению о постоянстве скорости света в вакууме. Если поезд движется со скоростью v и в вагоне в направлении движения поезда распространяется световая волна, то ее скорость относительна Земли все равно c , а не v + c .

Рассмотрим две системы отсчета.

В системе K 0 тело движется со скоростью v 1 . Относительно же системы K оно движется со скоростью v 2 . Согласно закону сложения скоростей в СТО:

Если v << c и v 1 << c , то слагаемым можно пренебречь, и тогда получим классический закон сложения скоростей: v 2 = v 1 + v .

При v 1 = c скорость v 2 равна c , как этого требует второй постулат теории относительности:

При v 1 = c и при v = c скорость v 2 вновь равна скорости c .

Замечательным свойством закона сложения является то, что при любых скоростях v 1 и v (не больше c ), результирующая скорость v 2 не превышает c . Скорость движения реальных тел больше, чем скорость света, невозможна.

Сложение скоростей

При рассмотрении сложного движения (то есть когда точка или тело движутся в одной системе отсчёта, а она движется относительно другой) возникает вопрос о связи скоростей в 2 системах отсчёта.

Классическая механика

В классической механике абсолютная скорость точки равна векторной сумме её относительной и переносной скоростей:

Простым языком: Скорость движения тела относительно неподвижной системы отсчёта равна векторной сумме скорости этого тела относительно подвижной системы отсчета и скорости самой подвижной системы отсчета относительно неподвижной системы.