№_____ Дата 02.10.14
Предмет Геометрия
Класс 10
Тема урока: Взаимное расположение двух плоскостей. Признак параллельности плоскостей
Цели урока: познакомить с понятием параллельности плоскостей, изучить признак параллельности плоскости и свойства параллельных плоскостей
Тип урока: изучения нового материала
ХОД УРОКА
1. Организационный момент.
Приветствие учащихся, проверка готовности класса к уроку, организация внимания учащихся, раскрытие общих целей урока и плана его проведения.
2. Формирование новых понятий и способов действия.
Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек, т.е. если α = α (рис. 20).
Теорема 1.
Через точку, не лежащую в плоскости, можно провести только одну плоскость, параллельную данной плоскости.
Доказательство.
Пусть даны плоскость
а
и точка А,
А
а
. В плоскости
а
возьмем две пересекающиеся прямые
а и
b
: а
,
b
, а
= В
(рис.21.) Тогда по теореме 1 (§2, п.2.1.) через точку
А
можно провести прямые
а
1
и
b
1
такие, что
а
1
||
а
и
b
1
||
b
Отсюда по аксиоме
CIII
существует единственная плоскость
, проходящая через пересекающиеся прямые
а
1
и
b
1
. Теперь остается показать, что α
, т.е. α
=
.
Пусть это не так, т.е. плоскости пересекаются по прямой с. Тогда по меньшей мере одна из прямых а или b не параллельна прямой с. Для определенности положим, что а с и а с = С.
Следовательно, a 1 с и также, как при доказательстве теоремы 2 из §2, имеем a 1 с= С, т.е. а 1 а = С.
Это противоречит тому, что а, || а . Поэтому α = α . Теорема доказана.
Теорема 2.
Если пересечь две параллельные плоскости третьей плоскостью, то прямые их пересечения будут параллельными, т.е α
,
а = α
,
b
=
=>
а
||
b
(рис.
22
).
Итак, две плоскости в пространстве могут взаимно располагаться в двух вариантах:
плоскости пересекаются по прямой;
плоскости параллельны.
Признак параллельности плоскостей
Теорема 3.
Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
Теорема 4. Отрезки параллельных прямых, ограниченных параллельными плоскостями, равны, между собой.
3. Применение. Формирование умений и навыков.
Задачи: Обеспечить применение учащимися знаний и способов действий, которые им необходимы для СР, создать условия для выявления школьниками индивидуальных способов применения изученного. Стр 24 №87,88,89,90(1)
4.Этап информации о домашнем задании.
Задачи: Обеспечить понимание учащимися цели, содержания и способов выполнения домашнего задания.стр.22 п3 №90(2)
5.Подведение итогов урока.
Задача: Дать качественную оценку работы класса и отдельных учащихся.
6.Этап рефлексии.
Опр. Две плоскости в пространстве называются параллельными, если они не пересекаются, в противном случаи они пересекаются.
Теорема1: Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
Доказательство:
Пусть и - данные плоскости, а1 и а2 - прямые в плоскости, пересекающиеся в точке А, в1 и в2 - соответственно параллельные им прямые в
плоскости. Допустим, что плоскости и не параллельны, т.е. пересекаются по некоторой прямой с. По теореме прямые а1 и а2, как параллельные прямым в1и в2, параллельны плоскости, и поэтому они не
пересекают лежащую в этой плоскости прямую с. Таким образом, в плоскости через точку А проходят две прямые (а1 и а2) , параллельные прямой с. Но это невозможно по аксиоме параллельных. Мы пришли к противоречию ЧТД.
Перпендикулярные плоскости: Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если третья плоскость, перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым.
Теорема2: Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
Доказательство:
Пусть - плоскость, в -перпендикулярная ей прямая, - плоскость, проходящая через прямую в, с - прямая, по которой пересекаются плоскости и. Докажем, что плоскости и перпендикулярны. Проведем в плоскости через точку пересечения прямой в с плоскостью прямую а,
перпендикулярную прямой с. Проведем через прямые а и в плоскость. Она перпендикулярна прямой с, т.к. прямая с перпендикулярна прямым а и в. Т. к. прямые а и в перпендикулярны, то плоскости и перпендикулярны. ч.т.д.
42. Нормальное уравнение плоскости и его свойства
Нормальное (нормированное) уравнение плоскости
в векторной форме:
где - единичный вектор,- расстояние П. от начала координат. Уравнение (2) может быть получено из уравнения (1) умножением на нормирующий множитель
(знаки ипротивоположны).
43. Уравнения прямой линии в пространстве: Общие уравнения, каноничекие и параметрические уравнения.
Канонические уравнения:
Выведем уравнение прямой, проходящей через данную точку и параллельную данному направляющему вектору. Заметим, что точкалежит на этой прямой тогда и только тогда, когда векторыиколлинеарны. Это означает, что координаты этих векторов пропорциональны:
Эти уравнения называют каноническими. Заметим, что одна или две координаты направляющего вектора могут оказаться равными нулю. Но мы воспринимаем это как пропорцию: мы понимаем как равенство.
Общие уравнения:
(A1x+B1y+C1z+D1=0
(A2x+B2y+C2z+D2=0
Где коэффиценты А1-С1 не пропорциональны A2-C2,что равносильно ее заданию как линии пересечения плоскостей
Параметрические:
Откладывая от точки векторыдля различных значений, коллинеарные направляющему вектору, мы будем получать на конце отложенных векторов различные точки нашей прямой. Из равенстваследует:
Переменную величину называют параметром. Поскольку для любой точки прямой найдется соответствующее значение параметра и поскольку различным значениям параметра соответствуют различные точки прямой, то существует взаимно однозначное соответствие между значениями параметра и точками прямой. Когда параметрпробегает все действительные числа отдо, соответствующая точкапробегает всю прямую.
44. Понятие линейного пространства. Аксиомы. Примеры линейных пространств
Пример линейного пространства – множество всех геометрических векторов.
Линейное , иливекторное пространство надполемP - этонепустое множествоL , на котором введеныоперации
сложения, то есть каждой паре элементов множества ставится в соответствие элемент того же множества, обозначаемыйи
умножения на скаляр(то есть элемент поляP ), то есть любому элементу и любому элементуставится в соответствие элемент из, обозначаемый.
При этом на операции накладываются следующие условия:
Для любых (коммутативность сложения );
Для любых (ассоциативность сложения );
существует такой элемент , чтодля любого(существование нейтрального элемента относительно сложения ), в частности L не пусто;
для
любого
существует
такой элемент,
что
(существование
противоположного элемента
).
(ассоциативность
умножения на скаляр
);
(умножение на нейтральный (по умножению) элемент поля P сохраняет вектор ).
(дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров );
(дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов ).
Элементы множества L называютвекторами , а элементы поляP -скалярами . Свойства 1-4 совпадают с аксиомами абелевой группы.
Простейшие свойства
Векторное пространство является абелевой группойпо сложению.
Нейтральный элемент является единственным, что вытекает из групповых свойств.
для любого .
Для любого противоположный элементявляется единственным, что вытекает из групповых свойств.
для
любого
.
для любых и.
для любого .
Элементы линейного пространства называются векторами. Пространство называется действительным, если в нем оперция умножения векторов на число определена только для действительных числе, и комплексным, если эта оперкция определана только для комплексных чисел.
45. Базис и размерност линейного прорстранства, связь между ними.
Конечная сумма вида
называется линейной комбинацией элементов с коэффициентами.
Линейная комбинация называется нетривиальной, если хотя бы один из её коэффициентов отличен от нуля.
Элементы называются линейно зависимыми, если существует их нетривиальная линейная комбинация, равная θ. В противном случае эти элементы называются линейно независимыми.
Бесконечное подмножество векторов из L называется линейно зависимым, если линейно зависимо его некоторое конечное подмножество, и линейно независимым, если любое его конечное подмножество линейно независимо.
Число элементов (мощность) максимального линейно независимого подмножества пространства не зависит от выбора этого подмножества и называется рангом, или размерностью, пространства, а само это подмножество - базисом(базисом Га́меля или линейным базисом). Элементы базиса также называют базисными векторами. Свойства базиса:
Любые n линейно независимых элементов n-мерного пространства образуют базис этого пространства.
Любой вектор можно представить (единственным образом) в виде конечной линейной комбинации базисных элементов:
46. Координты вектора в данном базисе. Линейные операции с векторами в координатной форме
п.4. Линейные операции с векторами в координатной форме записи.
Пусть – базиспространстваи– два его произвольных вектора. Пустьи–записьэтихвектороввкоординатнойформе. Пусть, далее,– произвольное действительное число. В этих обозначениях имеет место следующая теорема.
Теорема. (О линейных операциях с векторами в координатнойформе.)
Пусть Ln – произвольное n-мерное пространство, B = (e1,….,en) - фиксированный базис в нем. Тогда всякому вектору x пренадлежащему Ln взаимно однозначно соответствует столбец его координат в этом базисе.
Пусть даны две плоскости
Первая плоскость имеет нормальный вектор (А 1 ;В 1 ;С 1), вторая плоскость (А 2 ;В 2 ;С 2).
Если плоскости параллельны, то векторы и коллинеарны, т.е. = l для некоторого числа l. Поэтому
─ условие параллельности плоскости.
Условие совпадения плоскостей:
,
так как в этом случае умножая второе уравнение на l = , получим первое уравнение.
Если условие параллельности не выполняется, то плоскости пересекаются. В частности, если плоскости перпендикулярны, то перпендикулярны и векторы , . Поэтому их скалярное произведение равно 0, т.е. = 0, или
А 1 А 2 + В 1 В 2 + С 1 С 2 = 0.
Это необходимое и достаточное условие перпендикулярности плоскостей.
Угол между двумя плоскостями.
Угол между двумя плоскостями
А 1 х + В 1 у +С 1 z + D 1 = 0,
А 2 х + В 2 у +С 2 z + D 2 = 0
это угол между их нормальными векторами и , поэтому
cosj = 
= 
.
Прямая в пространстве.
Векторно-параметрическое уравнение прямой.
Определение. Направляющим вектором прямой называется любой вектор, лежащий на прямой или параллельный ей.
Составим уравнение прямой, проходящей через точку М 0 (х 0 ;у 0 ;z 0) и имеющей направляющий вектор = (а 1 ;а 2 ;а 3).
Отложим из точки М 0 вектор 
. Пусть М(х;у;z) ─ произвольная точка данной прямой, а 
─ её радиус- вектор точки М 0 . Тогда 
, 
, поэтому 
. Это уравнение называется векторно-параметрическим уравнением прямой.
Параметрические уравнения прямой.
В векторно-параметрическом уравнении прямой перейдёт к координатным соотношениям (х;у;z) = (х 0 ;у 0 ;z 0) + (а 1 ;а 2 ;а 3)t. Отсюда получаем параметрические уравнения прямой
х = х 0 + а 1 t,
у = у 0 +а 2 t, (4)
Канонические уравнения прямой.
Из уравнений (4) выразим t:
t = , t = 
, t = 
,
откуда получаем канонические уравнения прямой
= = (5)
Уравнение прямой, проходящей через две данные точки.
Пусть даны две точки М 1 (х 1 ;у 1 ;z 1) и М 2 (х 2 ;у 2 ;z 2). В качестве направляющего вектора прямой можно взять вектор = 
(х 2 – х 1 ;у 2 – у 1 ;z 2 – z 1). Поскольку прямая проходит через точка М 1 (х 1 ;у 1 ;z 1), то её канонические уравнения в соответствии с (5) запишутся в виде
(6)
Угол между двумя прямыми.
Рассмотрим две прямые с направляющими векторами = (а 1 ;а 2 ;а 3) и 
.
Угол между прямыми равен углу между их направляющими векторами, поэтому
cosj = 
= 
(7)
Условие перпендикулярности прямых:
а 1 в 1 + а 2 в 2 + а 3 в 3 = 0.
Условие параллельности прямых:
l,
. (8)
Взаимное расположение прямых в пространстве.
Пусть даны две прямые 
и 
.
Очевидно, что прямые лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда векторы , и 
компланарны, т.е.
= 0 (9)
Если в (9) первые две строки пропорциональны, то прямые параллельны. Если все три строки пропорциональны, то прямые совпадают. Если условие (9) выполнено и первые две строки не пропорциональны, то прямые пересекаются.
Если же ¹ 0, то прямые являются скрещивающимися.
Задачи на прямую и плоскость в пространстве.
Прямая как пересечение двух плоскостей.
Пусть заданы две плоскости
А 1 х + В 1 у +С 1 z + D 1 = 0,
А 2 х + В 2 у +С 2 z + D 2 = 0
Если плоскости не являются параллельными, то нарушается условие
.
Пусть, например ¹ .
Найдём уравнение прямой, по которой пересекаются плоскости.
В качестве направляющего вектора искомой прямой можно взять вектор
= × = 
= 
.
Чтобы найти точку, принадлежащую искомой прямой, фиксируем некоторое значение
z = z 0 и решая систему
,
получаем значения х = х 0 , у = у 0 . Итак, искомая точка М(х 0 ;у 0 ;z 0).
Искомое уравнение
.
Взаимное расположение прямой и плоскости.
Пусть задана прямая х = х 0 + а 1 t, y = y 0 + a 2 t, z = z 0 + a 3 t
и плоскость
А 1 х + В 1 у +С 1 z + D 1 = 0.
Чтобы найти общие точки прямой и плоскости, необходимо решить систему их уравнений
А 1 (х 0 + а 1 t) + B 1 (y 0 + a 2 t) + C 1 (z 0 + a 3 t) + D 1 = 0,
(A 1 a 1 + B 1 a 2 + C 1 a 3)t + (A 1 x 0 + B 1 y 0 + C 1 z 0 + D 1) = 0.
Если А 1 а 1 + В 1 а 2 + С 1 а 3 ¹ 0, то система имеет единственное решение
t = t 0 = - 
.
В этом случае прямая и плоскость пересекаются в единственной точке М 1 (х 1 ;у 1 ;z 1), где
х 1 = х 0 + а 1 t 0 , y 1 = y 0 + a 2 t 0 , z 1 = z 0 + a 3 t 0 .
Если А 1 а 1 + В 1 а 2 + С 1 а 3 = 0, А 1 x 0 + В 1 y 0 + С 1 z 0 + D 1 ¹ 0, то прямая и плоскость не имеет общих точек, т.е. параллельны.
Если же А 1 а 1 + В 1 а 2 + С 1 а 3 = 0, А 1 x 0 + В 1 y 0 + С 1 z 0 + D 1 = 0, то прямая принадлежит плоскости.
Угол между прямой и плоскостью.
Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности
двух плоскостей:
пусть заданы две плоскости Q 1 и Q 2:
А 1 х +B 1 y + C 1 z + D 1 =0
A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 =0
Под углом между плоскостями понимается один из двугранных углов, образованных этими плоскостями.
Если плоскости перпендикулярны, то таковы же их нормали, т.е. . Но тогда ,т.е.
A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 0. Полученное равенство есть условие перпендикулярности двух плоскостей.
Если плоскости параллельны, то будут параллельны и их нормали. Но тогда, как известно, координаты векторов пропорциональны: 
. Это и есть условие параллельности двух плоскостей.
Взаимное расположение прямых.
Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.
Пол углом между этими прямыми понимают угол между направляющими векторами S 1 и S 2 .
Для нахождения острого угла между прямыми L 1 и L 2 числитель правой части формулы следует взять по модулю.
Если прямые L 1 и L 2 перпендикулярны
, то в этом и только в этом случае имеем cos =0. следовательно, числитель дроби = 0, т.е. 
=0.
Если прямые L 1 и L 2 параллельны, то параллельны их направляющие векторы S 1 и S 2 . следовательно, координаты этих векторов пропорциональны: .
Условие, при котором две прямые лежат в одной плоскости:
=0.
При выполнении этого условия прямые либо лежат в одной плоскости, то есть либо пересекаются.
Взаимное расположение прямой и плоскости.
Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.
Пусть плоскость задана уравнением Ах +By + Cz + D=0, а прямая L уравнениями 
. Углом между прямой и плоскостью называется любой из двух смежных углов, образованных прямой и ее проекцией на плоскость. Обозначим через угол между плоскостью и прямой.
.
Если прямая L параллельна плоскости Q, то векторы n и S перпендикулярны, а потому , т.е.
0 является условием параллельности прямой и плоскости.
Если прямая L перпендикулярна плоскости Q, то векторы n и S параллельны. Поэтому равенства
Являются условиями перпендикулярности прямой и плоскости.
Пересечение прямой с плоскостью. Условие принадлежности прямой плоскости :
Рассмотрим прямую и плоскость Ах +By + Cz + D=0.
Одновременное выполнение равенств:
Ах 0 +By 0 + Cz 0 + D=0 являются условием принадлежности прямой плоскости.
Эллипс.
Геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек плоскости (обычно называемых фокусных) постоянна, называется эллипсом.
Если оси координат расположены так, что Ox проходит через фокусы F 1 (C,0) и F 2 (-C,0), а О(0,0) совпадает с серед отрезка F 1 F 2 , то по F 1 М+F 2 M получаем:
каноническое ур-ие эллипса 
,
b 2 =-(с 2 -a 2).
а и b- полуоси эллипса., а-большая, b-меньшая.
Эксцентриситет . , (если а>b)
(если а Эксцентриситет характеризует выпуклость эллипса. У эллипса эксцентриситет находится: 0 . Случай =0 возникает только тогда, когда с=0, а это есть случай окружности – это эллипс с нулевым эксцентриситетом. Директрисы (D)
Геометрическое место точек, отношение расстояний от которых до точки эллипса к расстоянию от этой точки эллипса до фокуса постоянно и равно величине , называется директрисами.
. Примечание: у окружности нет директрисы. Гипербола.
Геометрическое место точек, модуль разности расстояний от которых до двух фиксированных точек плоскости постоянна, называется гиперболой.
Каноническое уравнение гиперболы: Гипербола есть линия второго порядка. Гипербола имеет 2 асимптоты: и Гипербола называется равносторонней
, если ее полуоси равны. (а=b). Каноническое уравнение: Эксцентриситет
– отношение расстояния между фокусами к величине действительной оси гиперболы: Так как для гиперболы с>а, то эксцентриситет гиперболы >1. Эксцентриситет характеризует форму гиперболы: . Эксцентриситет равносторонней гиперболы равен равен . Директрисы
– прямые . Фокальные радиусы
: Есть гиперболы, которые имеют общие асимптоты. Такие гиперболы называются сопряженными.
Парабола.
Парабола
– множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой. Расстояние от фокуса до директрисы – параметр параболы
(p>0).-полуфокальный диаметр.
Парабола есть линия второго порядка. М(х,у) – произвольная точка параболы. Соединим точку М с F, проведем отрезок MN перпендикулярно директрисе. Согласно определению параболы MF=MN. По формуле расстояния между 2 точкам находим: Каноническое уравнение параболы: Эллипсоид.
Исследуем поверхность, заданную уравнением: Рассмотрим сечения поверхности с плоскостями, параллельными плоскости xOy. Уравнения таких плоскостей: z=h,где h – любое число. Линия, получаемая в сечении, определяется двумя ур-ниями: Исследуем поверхность: А) если то Линия пересечения поверхности с плоскостямиz=h не существует. Б) если , линия пересечения вырождается в две точки (0,0,с), и (0,0,-с). Плоскости z = c, z = - c касается данной поверхности. В) если , то уравнения можно переписать в виде: Рассмотренные сечения позволяют изобразить поверхность как замкнутую овальную поверхность. Поверхность называется эллипсоидами., если какие-либо полуоси равны, трехосный эллипсоид превращается в эллипсоид вращения, а если а=b=c, то в сферу. Гиперболоид и конус.
В силу аксиомы: две плоскости, имеющие общую точку, имеют общую прямую - возможны лишь два случая расположения плоскостей: 1) плоскости имеют общую прямую, т. е. пересекаются; 2) плоскости не имеют ни одной общей точки, такие плоскости называют параллельными. Существование параллельных плоскостей вытекает из следующего построения. Возьмем в плоскости (рис. 331) какие-либо две пересекающиеся прямые а и b. Через точку М, не принадлежащую плоскости X, проведем прямые а и b, соответственно параллельные данным. Покажем, что плоскость содержащая эти прямые, параллельна плоскости . Действительно, если бы эти плоскости пересекались по некоторой прямой с, то эта прямая, принадлежа плоскости , пересекалась бы по крайней мере с одной из прямых а и такая точка пересечения была бы точкой пересечения одной из этих прямых с плоскостью . Между тем обе прямые по построению параллельны плоскости . Таким образом, предположение о пересечении плоскостей ведет к противоречию. Следовательно, плоскости параллельны. Отсюда следует Признак параллельности плоскостей. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то плоскости параллельны.
, где .
и 
.
=> 
= =>
=>
y 2 = 2px.
, как видно, линия пересечения есть эллипс с полуосями а1 = , b1 = . При этом, чем меньше h, тем больше полуоси. При н=0 они достигают своих наибольших значений. а1=а, b1=b. Уравнения примут вид:
